序列模式

项集数据和序列数据

首先我们看看项集数据和序列数据有什么不同，如下图所示。

左边的数据集就是项集数据，在Apriori和FP Tree算法中我们也已经看到过了，每个项集数据由若干项组成，这些项没有时间上的先后关系。而右边的序列数据则不一样，它是由若干数据项集组成的序列。比如第一个序列 $\langle a(abc)(ac)d(cf)\rangle$ ，它由a,abc,ac,d,cf共5个项集数据组成，并且这些项集有时间上的先后关系。对于多于一个项的项集我们要加上括号，以便和其他的项集分开。同时由于项集内部是不区分先后顺序的，为了方便数据处理，我们一般将序列数据内所有的项集内部按字母顺序排序。

注:序列模式的序列是指项集是有相互顺序的，但项集内部是没有顺序的。

子序列与频繁序列

了解了序列数据的概念，我们再来看看什么是子序列。子序列和我们数学上的子集的概念很类似，也就是说，如果某个序列 $A$ 所有的项集在序列 $B$ 中的项集都可以找到，则AA就是BB的子序列。当然，如果用严格的数学描述，子序列是这样的：

对于序列 $a_1,a_2,\dots,a_m$ 和序列 $b_1,b_2,\dots,b_n$ ，如果存在数字序列 $1\leq j_1\leq j_2\leq \dots \leq j_n \leq m$ ，满足 $a_1\subseteq b_{j_1},a_2\subseteq b_{j_2},\dots,a_n\subseteq b_{j_n}$ ，则称 $A$ 是 $B$ 的子序列。当然反过来说， $B$ 是 $A$ 的超序列。

而频繁序列则和我们的频繁项集很类似，也就是频繁出现的子序列。比如对于下图，支持度阈值定义为50%，也就是需要出现两次的子序列才是频繁序列。而子序列 $\langle(ab)c\rangle$ 是频繁序列，因为它是图中的第一条数据和第三条序列数据的子序列，对应的位置用蓝色标示。

GSP

SPADE

PrefixSpan

PrefixSpan算法的全称是Prefix-Projected Pattern Growth，即前缀投影的模式挖掘。里面有前缀和投影两个词。那么我们首先看看什么是PrefixSpan算法中的前缀prefix。

在PrefixSpan算法中的前缀prefix通俗意义讲就是序列数据前面部分的子序列。如果用严格的数学描述，前缀是这样的：对于序列 $A=a_1,a_2,\dots,a_n$ 和序列 $B=b_1,b_2,\dots,b_m$ ， $n\leq m$ 。满足 $a_1=b_1,a_2=b_2,\dots,a_{n-1}=b_{n-1}$ ，而 $a_n\subseteq b_n$ ，则称 $A$ 是 $B$ 的前缀。比如对于序列数据 $B=\langle a(abc)(ac)d(cf)\rangle$ ，而 $A=\langle a(abc)a\rangle$ ，则 $A$ 是 $B$ 的前缀。当然 $B$ 的前缀不止一个，比如 $\langle a(ab)\rangle$ 也是 $B$ 的前缀。

看了前缀，我们再来看前缀投影，其实前缀投影这儿就是我们的后缀，有前缀就有后缀嘛。前缀加上后缀就可以构成一个我们的序列。下面给出前缀和后缀的例子。对于某一个前缀，序列里前缀后面剩下的子序列即为我们的后缀。如果前缀最后的项是项集的一部分，则用一个“_”来占位表示。

下面这个例子展示了序列 $\langle a(abc)(ac)d(cf)\rangle$ 的一些前缀和后缀，还是比较直观的。要注意的是，如果前缀的末尾不是一个完全的项集，则需要加一个占位符。

在PrefixSpan算法中，相同前缀对应的所有后缀的结合我们称为前缀对应的投影数据库。

PrefixSpan算法由于不用产生候选序列，且投影数据库缩小的很快，内存消耗比较稳定，作频繁序列模式挖掘的时候效果很高。比起其他的序列挖掘算法比如GSP，FreeSpan有较大优势，因此是在生产环境常用的算法。

PrefixSpan运行时最大的消耗在递归的构造投影数据库。如果序列数据集较大，项数种类较多时，算法运行速度会有明显下降。因此有一些PrefixSpan的改进版算法都是在优化构造投影数据库这一块。比如使用伪投影计数。

不过scikit-learn始终不太重视关联算法，一直都不包括这一块的算法集成。当然使用大数据平台的分布式计算能力也是加快PrefixSpan运行速度一个好办法。比如Spark的MLlib就内置了PrefixSpan算法。

算法思路

现在我们来看看PrefixSpan算法的思想，PrefixSpan算法的目标是挖掘出满足最小支持度的频繁序列。那么怎么去挖掘出所有满足要求的频繁序列呢。回忆Aprior算法，它是从频繁1项集出发，一步步的挖掘2项集，直到最大的K项集。PrefixSpan算法也类似，它从长度为1的前缀开始挖掘序列模式，搜索对应的投影数据库得到长度为1的前缀对应的频繁序列，然后递归的挖掘长度为2的前缀所对应的频繁序列...以此类推，一直递归到不能挖掘到更长的前缀挖掘为止。

比如对应于我们第二节的例子，支持度阈值为50%。里面长度为1的前缀包括 $\langle a\rangle ,\langle b\rangle ,\langle c\rangle ,\langle d\rangle ,\langle e\rangle ,\langle f\rangle ,\langle g\rangle$ ，我们需要对这7个前缀分别递归搜索找各个前缀对应的频繁序列。如下图所示，每个前缀对应的后缀也标出来了。由于 $g$ 只在序列4出现，支持度计数只有1，因此无法继续挖掘。我们的长度为1的频繁序列为 $\langle a\rangle ,\langle b\rangle ,\langle c\rangle ,\langle d\rangle ,\langle e\rangle ,\langle f\rangle$ 。去除所有序列中的 $g$ ，即第4条记录变成 $\langle e(af)cbc\rangle$ 。

现在我们开始挖掘频繁序列,分别从长度为1的前缀开始。这里我们以 $d$ 为例子来递归挖掘，其他的节点递归挖掘方法和 $d$ 一样。

方法如下图，首先我们对 $d$ 的后缀进行计数，得 $\{a:1, b:2, c:3, d:0, e:1, f:1, \_f:1\}$ 。注意 $f$ 和 $\_f$ 不一样的，因为前者是在和前缀 $d$ 不同的项集，而后者是和前缀 $d$ 同项集。由于此时 $a,d,e,f,\_f$ 都达不到支持度阈值，因此我们递归得到的前缀为 $d$ 的2项频繁序列为 $\langle db\rangle$ 和 $\langle dc\rangle$ 。

接着我们分别递归 $\langle db\rangle$ 和 $\langle dc\rangle$ 为前缀所对应的投影序列。首先看 $\langle db\rangle$ 前缀，此时对应的投影后缀只有 $\langle \_c(ae)\rangle$ ，此时 $\_c,a,e$ 支持度均达不到阈值，因此无法找到以 $\langle db\rangle$ 为前缀的频繁序列。现在我们来递归另外一个前缀 $\langle dc\rangle$ 。以 $\langle dc\rangle$ 为前缀的投影序列为 $\langle\_f\rangle, \langle(bc)(ae)\rangle,\langle b\rangle$ ，此时我们进行支持度计数，结果为 $\{b:2, a:1, c:1, e:1, \_f:1\}$ ，只有 $b$ 满足支持度阈值，因此我们得到前缀为 $\langle dc\rangle$ 的三项频繁序列为 $\langle dcb\rangle$ 。

我们继续递归以 $\langle dcb\rangle$ 为前缀的频繁序列。由于前缀 $\langle dcb\rangle$ 对应的投影序列 $\langle(\_c)ae\rangle$ 支持度全部不达标，因此不能产生4项频繁序列。至此以 $d$ 为前缀的频繁序列挖掘结束，产生的频繁序列为 $\langle d\rangle\langle db\rangle\langle dc\rangle\langle dcb\rangle$ 。

同样的方法可以得到其他以 $\langle a\rangle,\langle b\rangle,\langle c\rangle,\langle e\rangle,\langle f\rangle$ 为前缀的频繁序列。

算法流程

输入：序列数据集 $S$ 和支持度阈值 $\alpha$

输出：所有满足支持度要求的频繁序列集

（1）找出所有长度为1的前缀和对应的投影数据库

（2）对长度为1的前缀进行计数，将支持度低于阈值 $\alpha$ 的前缀对应的项从数据集 $S$ 删除，同时得到所有的频繁1项序列， $i = 1$ 。

（3）对于每个长度为 $i$ 满足支持度要求的前缀进行递归挖掘：

（a）找出前缀所对应的投影数据库。如果投影数据库为空，则递归返回。

（b）统计对应投影数据库中各项的支持度计数。如果所有项的支持度计数都低于阈值 $\alpha$ ，则递归返回。

（c）将满足支持度计数的各个单项和当前的前缀进行合并，得到若干新的前缀。

（d）令 $i = i+1$ ，前缀为合并单项后的各个前缀，分别递归执行第3步。

算法实践

Code实现

Frequent Pattern Mining - RDD-based API - Spark 2.3.0 Documentation

from pyspark import SparkContext
from pyspark import SparkConf
from  pyspark.mllib.fpm import PrefixSpan

sc = SparkContext("local","testing")

data = [
   [['a'],["a", "b", "c"], ["a","c"],["d"],["c", "f"]],
   [["a","d"], ["c"],["b", "c"], ["a", "e"]],
   [["e", "f"], ["a", "b"], ["d","f"],["c"],["b"]],
   [["e"], ["g"],["a", "f"],["c"],["b"],["c"]]
   ]
rdd = sc.parallelize(data, 2)
model = PrefixSpan.train(rdd, 0.5,4)

sorted(model.freqSequences().collect())