大数与中心极限
大数定律与中心极限定理是概率统计的两个重要定理，这里简单介绍说明一下。
大数定律
小数定律
喜欢总结规律是人类的天性。例如，人们抱着娱乐或者认真的态度总结了世界杯足球赛的各种“定律”，其中比较著名的有“巴西队的礼物”——“巴西队的礼物”是指：只要巴西夺冠，下一届的冠军就将是主办大赛的东道主，除非是巴西队自己夺冠。我们来看下历史下真实的数据：1962年巴西夺冠后，4年后英格兰在本土称雄。1970年巴西三夺金杯，1974年轮到东道主西德捧杯。1994年巴西在美国夺冠，下一届东道主法国队在本土夺冠。1958年，巴西队在瑞典夺冠，4年后他们未免成功，收回了“礼物”。看起来这个定律很有意思，但是这一定律在2006年被打破。2006年在德国的世界杯，德国和巴西队都没有夺冠，而是由我们中国人耳熟能详的主队里皮率领的意大利队夺冠。还有一些未被打破的定律，这些看似没有规律的神奇定律，之所有神奇，完全纯属巧合。世界杯每4年举办一次，总共才举办了20多届。只要数据足够少，我们总能发现一些神奇的定律。
如果数据少，随机现象可以看起来很不随机。甚至非常整齐，好像真的有规律一样。即小数定律——如果统计数据很少，那么事件就表现为各种极端情况，而这些情况都是偶然事件，跟它的期望值一点关系也没有
大数定律
大数定律就是我们从统计学中推测真相的理论基础——大数定律说如果统计数据足够大，那么事物出现的频率就能无限接近它的期望值。
某个事件的期望，也就是收益，实际上各种不同结果出现的概率乘结果的收益的和。拿我们最熟悉的投骰子举例，游戏规则是投中1点获得1元，投中2点获得2元，以此类推。那么，这个事件的期望是多少呢？
显然是
这个期望3.5代表什么意思呢？也就是说，只要你一直玩下去，你每次游戏的预期收益是3.5元。可能你某次赢了1元，某一次赢了6元，只要你长期投下去， 你平均下来每次就赢3.5元。
中心极限定理
中心极限定理是许多统计活动的“动力源泉”，这些活动存在着一个共同的特点，那就是使用样本对总体进行估计，例如我们经常看到的民意调查就是这方面的经典案例。
中心极限定理是说：
样本的平均值约等于总体的平均值。
不管总体是什么分布，任意一个总体的样本平均值都会围绕在总体的整体平均值周围，并且呈正态分布。
假设有一个群体，如我们之前提到的清华毕业的人，我们对这类人群的收入感兴趣。怎么知道这群人的收入呢？我会做这样4步：
随机抽取1个样本，求该样本的平均值。例如我们抽取了100名毕业于清华的人，然后对这些人的收入求平均值。该样本里的100名清华的人，这里的100就是该样本的大小。有一个经验是，样本大小必须达到30，中心极限定理才能保证成立。
我将第1步样本抽取的工作重复再三，不断地从毕业的人中随机抽取100个人，例如我抽取了5个样本，并计算出每个样本的平均值，那么5个样本，就会有5个平均值。这里的5个样本，就是指样本数量是5，即抽取了5次，形成了5个样本。
根据中心极限定理，这些样本平均值中的绝大部分都极为接近总体的平均收入。有一些会稍高一点，有一些会稍低一点，只有极少数的样本平均值大大高于或低于群体平均值。
中心极限定理告诉我们，不论所研究的群体是怎样分布的，这些样本平均值会在总体平均值周围呈现一个正态分布。
Source
Last updated